BZOJ - 1143 祭祀river(Dilworth定理)

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Dilworth定理学习笔记

前置知识点

偏序关系，见维基百科-偏序关系
偏序集，见百度百科-偏序集
链，反链，极大链，极大反链，最大链，最大反链，Dilworth定理，见链-反链-Dilworth定理

思路

由Dilworth定理可知，我们本题需要计算该有向图中的最长反链（即要求一个最大的集合，其中元素两两不可比较，也就是题中的两两不能通过水流到达），而最长反链就是最小链覆盖。现在问题变成了：如何求一个图的最小链覆盖？我们先考虑一个弱化的问题：如何求一个图的不可相交的最小链覆盖？（即链与链没有交）我们考虑开始的时候每个点都是独立的，割裂的一条路径。然后我们建立一个二分图，将每个点拆成两个点，当有一条a到b的路径时，我们对a到b’连一条边。（为什么是二分图？可以理解为一个点的入度和出度都只能为1，这样保证就是一条链，不然可能就是一个Y字型）。我们不难发现每次增加一条匹配的时候，图中的链就少了一条，那么显然最小链覆盖=原来的节点数-匹配的个数。不过该题中，没有要求链不可相交（因为不要求链是连续的）。因为数据范围只有100，考虑使用floyd进行传递闭包，这样我们就能知道那些点相互可达，这样就变成了可以选“连续的链”的最小链覆盖，也就是我们之前解决的弱化的问题。这样这道题的最终思路就很清晰了：flyod求传递闭包，二分图匹配求最小链覆盖，dilworth定理将其转化成最长反链也就是本题的答案。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INTINF 0x7fffffff
#define LLINF 0x7fffffffffffffff
#define ms(a,val) memset((a),(val),(sizeof(a)))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
using namespace std;
ll quickpow(ll a,ll b,ll MOD){ll ans=1;a%=MOD;while(b){if(b&1ll)ans=ans*a%MOD;a=a*a%MOD,b>>=1;}return ans;}
ll gcd(ll a,ll b){return a%b==0?b:gcd(b,a%b);}
//head

const int MAXN=105,MAXM=1005,MAXV=405;
int n,m;
int dp[MAXN][MAXN];
int V;
vector<int> G[MAXV];
int match[MAXV];
bool used[MAXV];
bool dfs(int v){
    used[v]=true;
    for(int i=0;i<G[v].size();i++){
        int u=G[v][i],w=match[u];
        if(w<0||(!used[w]&&dfs(w))){
            match[v]=u;
            match[u]=v;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int bipartite_matching(){
    int res=0;
    ms(match,-1);
    for(int v=1;v<=V;v++){
        if(match[v]<0){
            ms(used,0);
            if(dfs(v)){
                res++;
            }
        }
    }
    return res;
}
void floyd(){
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                dp[i][j]=dp[i][j]|(dp[i][k]&dp[k][j]);
            }
        }
    }
}


int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.in","r",stdin);
    freopen("output.out","w",stdout);
    #endif // ONLINE_JUDGE
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        ms(dp,0);
        int u,v;
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            dp[u][v]=1;
        }
        floyd();
        V=2*n;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(dp[i][j])G[i].push_back(j+n);
            }
        }
        int tcnt=bipartite_matching();
        printf("%d\n",n-tcnt);
    }
	return 0;
}